Some mathematicians ( Rota (1977), p. 173 Beberapa matematikawan (Rota (1977), hlm 173 ) see beauty in mathematical results that establish connections between two areas of mathematics that at first sight appear to be totally unrelated. ) Melihat keindahan dalam hasil matematika yang membangun koneksi antara dua bidang matematika yang pada pandangan pertama tampaknya sama sekali tidak terkait. These results are often described as deep. Hasil ini sering digambarkan sebagai yang mendalam.
While it is difficult to find universal agreement on whether a result is deep, some examples are often cited. Meskipun sulit untuk menemukan kesepakatan universal tentang apakah hasilnya dalam, beberapa contoh yang sering dikutip. One is Euler's identity : Salah satunya adalah identitas Euler :
Physicist Richard Feynman called this "the most remarkable formula in mathematics". Fisikawan Richard Feynman menyebutnya "rumus paling luar biasa dalam matematika". Modern examples include the modularity theorem , which establishes an important connection between elliptic curves and modular forms (work on which led to the awarding of the Wolf Prize to Andrew Wiles and Robert Langlands ), and " monstrous moonshine ," which connects the Monster group to modular functions via a string theory for which Richard Borcherds was awarded the Fields medal . Contoh modern termasuk teorema modularitas , yang menetapkan koneksi penting antara kurva elips dan bentuk modular (bekerja pada yang menyebabkan pemberian dari Wolf Hadiah untuk Andrew Wiles dan Robert Langlands ), dan " mengerikan minuman keras , "yang menghubungkan kelompok Rakasa untuk modular fungsi melalui teori string yang Borcherds Richard dianugerahi medali Fields .
The opposite of deep is trivial. A trivial theorem may be a result that can be derived in an obvious and straightforward way from other known results, or which applies only to a specific set of particular objects such as the empty set. Kebalikan dari dalam adalah sepele. A Teorema sepele mungkin akibat yang dapat diturunkan dalam suatu cara yang jelas dan lugas dari hasil yang dikenal lainnya, atau yang hanya berlaku untuk satu set tertentu benda tertentu seperti himpunan kosong. Sometimes, however, a statement of a theorem can be original enough to be considered deep, even though its proof is fairly obvious. Kadang-kadang, bagaimanapun, pernyataan teorema dapat menjadi asli cukup untuk dipertimbangkan dalam, meskipun buktinya cukup jelas.
In his A Mathematician's Apology , Hardy suggests that a beautiful proof or result possesses "inevitability", "unexpectedness", and "economy". [ 4 ] Dalam karyanya Permintaan Maaf A matematika itu , Hardy menunjukkan bahwa bukti atau hasil yang indah memiliki "keniscayaan", "terduga", dan "ekonomi". [4]
Rota , however, disagrees with unexpectedness as a condition for beauty and proposes a counterexample: Rota , bagaimanapun, tidak setuju dengan terduga sebagai syarat untuk kecantikan dan mengusulkan counterexample:
A great many theorems of mathematics, when first published, appear to be surprising; thus for example some twenty years ago [from 1977] the proof of the existence of non-equivalent differentiable structures on spheres of high dimension was thought to be surprising, but it did not occur to anyone to call such a fact beautiful, then or now. [ 5 ] Sebuah teorema matematika banyak sekali, ketika pertama kali diterbitkan, tampaknya mengejutkan; sehingga misalnya beberapa dua puluh tahun yang lalu [dari 1977] bukti keberadaan non-setara struktur terdiferensialkan di sudut dimensi tinggi dianggap mengejutkan, namun hal itu tidak terjadi kepada siapa pun untuk menelepon seperti sebuah fakta yang indah, kemudian atau sekarang. [5]
Perhaps ironically, Monastyrsky writes: Mungkin ironisnya, Monastyrsky menulis:
It is very difficult to find an analogous invention in the past to Milnor 's beautiful construction of the different differential structures on the seven-dimensional sphere....The original proof of Milnor was not very constructive but later E. Briscorn showed that these differential structures can be described in an extremely explicit and beautiful form. [ 6 ] Hal ini sangat sulit untuk menemukan sebuah penemuan analog di masa lalu untuk Milnor konstruksi 'indah dari struktur diferensial berbeda pada lingkup dimensi tujuh .... Bukti asli Milnor tidak sangat konstruktif namun kemudian E. Briscorn menunjukkan bahwa struktur diferensial dapat dijelaskan dalam bentuk yang sangat eksplisit dan indah. [6]
This disagreement illustrates both the subjective nature of mathematical beauty and its connection with mathematical results: in this case, not only the existence of exotic spheres, but also a particular realization of them. Ketidaksepakatan ini menggambarkan baik sifat subjektif keindahan matematika dan hubungannya dengan hasil matematika: dalam kasus ini, tidak hanya keberadaan sudut eksotis, tetapi juga realisasi tertentu dari mereka.
0 komentar:
Posting Komentar